Měření vlhkosti ve stavebních hmotách pomocí mikrovln (I)

Vlhkost stavebních konstrukcí má vliv na fyzikální vlastnosti materiálů a může způsobit degradaci stavební konstrukce. V článku jsou precizovány související fyzikální vlastnosti, respektive „vlhkostní chování“ stavebních materiálů. Sledování pohybu vlhkosti v materiálech stavební konstrukce je možné uplatnit pro racionální návrh stavby k eliminaci nežádoucího působení vlhkosti v průběhu jejího užívání.

Úvod

Pro vyjádření předpokládaného negativního vlivu vlhkosti na stavební hmoty ve vztahu ke stavební konstrukci je třeba docílit co nejpřesnějšího způsobu zjištění nejen tepelně izolačních schopností použitých materiálů, ale i vlhkostních charakteristik. Za účelem získání nedestruktivního popisu vlhkostních charakteristik stavebních materiálů byla na ÚPST FAST VUT v Brně experimentálně sestavena měřící aparatura s využitím elektromagnetického mikrovlnného záření k detekci transportu vlhkosti v inertních pórovitých hmotách.

1. Vlhkost v pórovité hmotě

Stav vzduchu v dutinách otevřených pórů stavebního materiálu obvodových konstrukcí je vystaven působení vnějšího prostředí, a tím jsou celkově ovlivňovány vlastnosti stavby.

Jedním z parametrů, které vyjadřují přenos vlhkosti v kapilárně porézních látkách, je součinitel kapilární vodivosti.

K vyšetřování vlhkosti v pórovité hmotě se uplatňují stacionární i nestacionární metody. Stacionární metody nejsou pro řadu materiálů použitelné zejména proto, že u nich nelze naměřit křivku navlhání a rovnovážný stav se ztotožňuje s homogenním provlhnutím.

2. Součinitel kapilární vodivosti

Pro výpočet součinitele kapilární vodivosti [5] se běžně uplatňuje metoda Matanova, u níž postačí znalost jedné křivky navlhání (viz obr. 1), tzn. prostorové rozložení vlhkosti v jediném čase od počátku experimentu a souřadnice polohy profilu vlhkostního čela, která odpovídá tomuto času. Tato metoda využívá Boltzmannovu transformaci (5), kterou je možno použít v případě krátkých časů, kdy se ještě neprojeví okrajová podmínka na suchém konci vzorku. Výhoda transformace spočívá v tom, že převádí parciální diferenciální rovnici (4), získané spojením Lykovovy rovnice (2) a rovnice kontinuity (3), na obyčejnou diferenciální rovnici (4a). Toto usnadnění má ale za následek, že prostorové rozložení vlhkosti v materiálu, které rovnice předpovídá pro různé časy od počátku navlhání, vede ke stejné závislosti součinitele kapilární vodivosti na vlhkosti. Ukažme nyní podstatné elementy matematického popisu šíření kapilární vlhkosti.

Součinitel kapilární vodivosti charakterizuje přenos kapalné vlhkosti v porézní látce. Všechny metody jeho stanovení jsou experimentálně uspořádány tak, aby bylo možné pracovat s jednorozměrnou rovnicí [5]

kde u je bezrozměrná a skalární relativní hmotnostní vlhkost,
t je časový úsek od počátku měření v sekundách,
x je polohová souřadnice v metrech a
κ je součinitel kapilární vodivosti v m²·s^-1, který závisí na vlhkosti.

Rovnice (1) vychází z Lykovovy rovnice, která je fenomenologickým popisem šíření kapalné vlhkosti v porézních látkách, a z rovnice kontinuity, která vyjadřuje klasický zákon zachování hmoty.

Lykovova rovnice, jejíž fyzikální zdůvodnění nalezne čtenář v [5], popisuje hustotu toku kapilární vody q hnané kapilárními mechanismy. Její obecný (prostorový) tvar je

kde vektor q je hustota toku kapilární vody v kg·m^-2·s^-1,
vektor ∂u/∂r je gradient relativní vlhkosti v jednotkách m^-1, který zde formálně vystupuje jako „hnací” termodynamický vlhkostní potenciál a
ρ_s je hustota (objemová hmotnost) vzorku v kg·m^-3 v suchém stavu. Mezi ní a skutečnou hustotou (objemovou hmotností) ρ(x) platí vztah:

ρ = ρ_s .(1+u)

Rovnice kontinuity říká, že kapalná vlhkost v daném elementárním objemu se sníží v elementárním časovém intervalu o množství kapaliny, která v tomto čase vyteče uzavřenou plochou ohraničující tento objem. Její obecný diferenciální tvar je

Zderivujeme-li vektorově rovnici (2) a výsledek dosadíme do (3), dostaneme tímto spojením rovnice kontinuity a Lykovovy rovnice základní vztah popisující dynamiku vzlínání

Pokud, jak již bylo zmíněno, uspořádáme měření tak, aby kapalina vzlínala vzorkem pouze ve směru x a aby ve směrech z a y rovnoběžných s hladinou kapaliny byly gradienty vlhkosti nulové, můžeme poslední rovnici vyjádřit v jednorozměrném tvaru,viz [6]:

z níž po jednoduché úpravě ihned plyne (1), což bylo dokázati. Záporný vlhkostní gradient vyjadřuje skutečnost vyplývající ze zvolené orientace souřadnicové soustavy, totiž že vlhkost v daném čase klesá se vzrůstem souřadnice x.

Naznačíme řešení rovnice (1), která i pro náš jednorozměrný případ zůstává parciální diferenciální rovnicí s délkovou a časovou nezávislou proměnnou. Pro zjednodušení výpočtu použijeme Boltzmannovu transformaci popsanou v [5], která definuje novou proměnnou η předpisem

Pomocí ní převedeme funkci u dvou proměnných x, t na funkci ω jedné proměnné η:

u (x,t) = ω (η) (6)

s hraniční podmínkou u(0,t) = ω(0) = u₁ a u(x,0) = ω(∞) = u₂. Z definice (5) plyne:

Po dosazení (5), (6) a (7) do rovnice (1) získáme obyčejnou diferenciální rovnici:

kde ω je vlhkost jako funkce nové proměnné η za předpokladu, že t je daný časový interval navlhání,
u₁ je dosažená relativní hmotnostní vlhkost v čase t,
u₂ je relativní vlhkost materiálu v ustáleném stavu.

Pro pevný čas t je u_t(x) = ω(x/2.√t)). Úpravou rovnice (7) a s uvážením, že čas je pevně dán a že tedy pracujeme stále s obyčejnou diferenciální rovnici (zkoumáme, jinak řečeno, rozložení vlhkosti v daném čase), dostaneme:

Integrací rovnice (9) a po úpravě s použitím definičních vztahů Boltzmannovy transformace (5), (6) a (7) můžeme vyjádřit součinitele kapilární vodivosti. Integrujeme pouze pravou stranu, neurčitý integrál na levé straně je triviální. Integrační meze jsou <x, ∞>, resp. v Boltzmanově reprezentaci <x/(2t^1/2),∞>. Kapalná vlhkost v nekonečnu, tedy vlhkost nad ustálenou hodnotou budiž u₂ = 0. Zavedením ξ jako pomocné nezávislé proměnné, která vyjadřuje vzdálenost měřenou v délce vzorku od bodu na křivce vlhkostního čela (teoreticky roste až k nekonečnu, avšak pro praktické uplatnění je brána na měřeném vzorku do vzdálenosti, kde je už relativní vlhkost odpovídající ustálenému stavu, tedy u₂, [6]), dospějeme konečně ke vztahu pro součinitele vlhkostní vodivosti. Známe-li rozložení vlhkosti u(x) v daném čase t, (tzn. t je konstanta a u(x) je funkce jediné proměnné x), můžeme vyjádřit součinitele vlhkostní vodivosti κ:

kde součinitel κ je vyjádřen jako funkce vlhkosti v délce vzorku, respektive v délce vlhkostního čela, ξ je substituce vzdálenosti měřené v délce vzorku od bodu na křivce vlhkostního čela a t je časový interval, ve kterém byla měřena relativní vlhkost jako funkce u(x).

Na obr. 1 je znázorněn předpoklad průběhu saturačních křivek v časových intervalech t₁ až t₄ a vyjádření hraničních podmínek pro výpočet součinitele vlhkostní vodivosti κ. Na ose x jsou délky jako souřadnice, a to ve vzdálenosti od kontaktu měřeného vzorku s volnou hladinou: A je souřadnice počátku profilu vlhkostního čela a B je souřadnice délky vlhkostního čela. C je souřadnice do suché oblasti → ∞. Na svislé ose jsou hodnoty hmotnostní vlhkosti – u₂ je relativní hmotnostní vlhkost měřeného vzorku a u₁ je hmotnostní vlhkost měřeného vzorku materiálu po navlhnutí.

3. Měření vlhkosti a metodika hodnocení měřených dat

Pro měření vstupních údajů k výpočtu součinitele kapilární vodivosti byla na Ústavu pozemního stavitelství VUT FAST Brno sestavena měřící aparatura využívající elektromagnetického mikrovlnného záření (EMVZ) o délce vlny 12,5 cm, viz obr. 2. Měří se propustnost tohoto záření při průchodu vzorkem definované tloušťky 20 mm, která závisí na vlhkosti obsažené ve vzorku. Aparatura je uspořádána tak, že měřený vzorek porézního materiálu ve tvaru kvádru je umístěn mezi vysílací a přijímací vlnovod, jeho nejmenší základna je v kontaktu s vodní hladinou [2]. Vzhůru vzorkem vzlíná voda a kolmo ke směru vzlínání skrze nejtenčí stranu zkušebního kvádru prostupuje mikrovlnný paprsek. Výška paprsku od vodní hladina je měnitelná. Pro co nejefektivnější sledování transportu vzlínající vlhkosti v materiálu byly nastaveny jednoznačné a dobře definované počáteční a okrajové podmínky. Naměřené údaje byly zpracovány na základě výše uvedených teoretických poznatků. Další informace o metodice měření hodnocení šíření vlhkosti porézními materiály najde čtenář ve [2].

Měřící linka zobrazená na obr. 2 umožňuje na základě měření propustnosti svazku mikrovlnného záření při průchodu vzorkem konstantní tloušťky, kdy propustnost závisí na vlhkosti vzorku, sledovat množství vlhkosti v materiálu, transport vlhkosti a její prostorové rozložení ve vzorku. Speciálně pak lze stanovit:
- rychlosti vzlínání vody
- polohy profilu vlhkostního čela při navlhání.

Tok mikrovlnného záření 2,4 GHz je ve vlnovodu soustředěn do úzkého svazku o průměru do 3 mm. Maximální výkon mikrovlnného generátoru je v bezpečné oblasti do 2 W. Mikrovlnné záření, které po průchodu vzorkem dopadá na čidlo přijímače, vyvolá v závislosti na dopadajícím výkonu napěťovou odezvu, která je úměrná dopadajícímu výkonu záření. Při maximálním výkonu vysílače EMVZ vrací snímač a vyhodnocovací jednotka napětí 500 mV.

3.1 Princip měření

Svazek mikrovlnného záření o intenzitě toku I₀ W vstupuje do vzorku o tlouštce s = 2 cm a na opačné straně vystupuje snížen na hodnotu I. Propustnost t (transmitance) respektive pohltivost a (absorbance) jsou definovány jako podíl

resp.

Propustnost závisí na tloušťce vzorku. Na základě Lambertova Beerova zákona³ [8] můžeme stanovit absorpční součinitel α, který nezávisí na tloušťce vzorku a je tedy materiálovou konstantou:

Absorpční součinitel α je stejný pro tentýž a stejně vlhký materiál různých tlouštěk a není tedy nutné měřit pouze vzorky definované tloušťky. Kapalná vlhkost a v menší míře i vodní pára, které jsou ve vzorku přítomné, snižují mikrovlnnou propustnost vzorku t a zvyšují absorpční součinitel α.

3.2 Interakce mikrovln s vlhkým porézním materiálem

Elektromagnetické mikrovlnné záření (EMVZ), které prochází porézní látkou, je v menší míře pohlcováno vlastní pevnou fází dané látky (včetně krystalicky vázané vody) a ve větší míře volnou, tj. chemicky nevázanou vlhkostí, zejména kapalnou vodou v pórech. Pohlcená energie je v obou případech použita na překonání třecích sil, které brání otáčejícím se nebo deformujícím se molekulám přítomným v látce v pohybu. K pohybu jsou nuceny elektricky polární molekuly pod působením časově proměnné elektrické složky EMVZ. Čím více se elektricky polární molekuly mohou v proměnném poli EMVZ natáčet či deformovat a čím je prostředí hustší, tím je tření mezi otáčejícími se nebo deformujícími se molekulami a okolím větší. A tím více EMVZ je pak pohlceno a proměněno v teplo. Molekulární řetězce v krystalové mříži porézní látky se nemohou takřka vůbec otáčet ani deformovat, a proto EMVZ takřka vůbec nepohlcují, i kdyby byly velmi polární. Molekulární řetězce na okrajích krystalických zrn (v mezikrystalické fázi) se již mohou více deformovat, třít o sousedy a tím pohlcovat EMVZ (to je případ polykrystalických, tzn. keramických látek jako je cihelný střep). Polární molekuly vodní páry přítomné v pórech látky se mohou natáčet v poli EMVZ ještě lépe, stejně jako molekuly vody v kapalné fázi. Silně polární molekuly se v kapalné vodě nalézají ve velmi hustém prostředí, a proto kapalná voda pohlcuje mikrovlny nejintenzivněji.

3.3 Vliv vlhkosti na propustnost mikrovlnného záření

Dopadá-li na vzorek neděrovaného cihlového vzorku 2 x 10 x 20 cm v podmínkách ustálené vlhkosti⁴ tenký svazek EMVZ o velikosti I_d, který je reprezentován na snímači výkonu EMVZ napěťovým výstupem 500 mV, sníží se tento tok po průchodu nejtenčí stěnou vzorku na hodnotu reprezentovanou napětím 385 mV. Mikrovlnná propustnost (dále jen propustnost) materiálu s ustálenou vlhkostí pak je t = 385/500 = 0,77 a součinitel absorpce podle (12) je α = 13,07 m^-1. Budeme předpokládat, že příspěvek vlhkosti přítomné ve vzorku k celkovému součiniteli absorpce α ve vzorci (12) je aditivní veličinou, která se přičítá k součiniteli absorpce suchého vzorku a nezávisí na jeho velikosti. Potom pro celkový součinitel absorpce platí α = α_s + α_v, kde α_s je absorpční součinitel suchého vzorku a α_v je absorpční součinitel vlhkosti ve vzorku. Podle (11) a (12) platí

t = t_s.t_v, tedy

a

kde t_s je propustnost suchého vzorku a t_v je propustnost vlhkosti, která je přítomná ve vzorku. Konečně z (12) a (13) pro absorpční součinitel přítomné vlhkosti platí:

3.4 Výsledky měření absorpce mikrovln vlhkými vzorky

V první etapě experimentu byly na totožných vzorcích keramického páleného střepu tloušťky s = 2 cm s různými vlhkostmi proměřeny propustnosti pro EMVZ. Tok záření odpovídal napěťovému výstupu 500 mV na snímači výkonu záření. Bezprostředně poté byla změřena skutečná vlhkost gravimetrickou (vážkovou) metodou. Metodou nejmenších čtverců byla nakonec z experimentálních dat stanovena funkční závislost propustnosti EMVZ na vlhkosti keramického střepu vyjádřeného v hmotnostních procentech.

Z obr. 3 je patrná funkční závislost poklesu zářivého toku elektromagnetického mikrovlnného záření na hmotnostní vlhkosti. Jestliže změříme tok EMVZ svazku, který na lícové straně vstupuje do vzorku o tloušťce s = 0,02 m (v přístrojových jednotkách je to 500 mV) a dále tok, který na rubové straně vystupuje u vlhkého vzorku, můžeme z rozdílu mezi napětími ihned spočítat hmotnostní vlhkost vzorku v % podle rovnice [2]:

y (u) = 1.10^-7.u³+ 1.10^-5.u²+0,00115.u+1,0136 (15)

Rovnice platí pro dané experimentální uspořádání s daným mikrovlnným zářičem popsaným výše a pro daný definiční obor u(0; 420), kdy je výstupní napětí ze snímače toku EMVZ nutno dosazovat v milivoltech. Předpokladem pro stanovení funkční závislosti změny intenzity elektromagnetického mikrovlnného záření na hmotnostní vlhkosti je, aby stavební materiály vykazovaly dostatečnou propustnost mikrovln. To je splněno ve většině silikátových a keramických staviv.

Přestože rovnice (15) platí jen pro popisovanou aparaturu a dané experimentální uspořádání, takže ji nelze aplikovat obecně, ukazuje na zásadní a pozoruhodnou skutečnost. Obsah vlhkosti ve stavební konstrukci lze účinně, rychle a nedestruktivně stanovit z měření propustnosti mikrovlnného záření 2,4 GHz.

Než se pokusíme uvedené výsledky zevšeobecnit, zastavme se u podstatného předpokladu, který jsme zatím uvažovali automaticky. Totiž jaká vlastně existuje relace mezi energií zářivého svazku EMVZ a napěťovým výstupem z aparatury a zejména platí -li předpokládaná úměrnost mezi tokem EMVZ a výstupem v mV. Odpověď ukazuje měření, jehož výsledek je ukázán na obr. 4.

V grafu na obr. 4 je patrná lineární závislost rozdílu mezi napětím, které reprezentuje vstupní tok EMVZ, a napětím, které reprezentuje tok prošlý vzorkem, na velikosti napětí určujícího vstupní tok. Vzhledem k tomu, že propuštěné respektive pohlcené záření je podle fyzikálního zákona úměrné vstupujícímu záření (zejména to platí pro malé výkony zářivého toku, s jakými pracujeme), můžeme fotometrické veličiny ve vzorcích (11a,b), tzn. propustnost t a pohltivost a počítat přímo pomocí napětí u_in a u_out z přístrojového výstupu:

Experimentální křivka vykazuje malou nelinearitu, která nejspíš nemá hlubší fyzikální příčinu a je pravděpodobně dána přístrojovou chybou snímače výkonu zářivého toku. Při proložení experimentální křivky přímkou odvodíme snadno z její směrnice již dříve uvedenou pohltivost a = 0,23 resp. propustnost t = 0,77. Zavlhlý materiál vykazuje měřitelně menší propustnost pro mikrovlny.

Vlhkost jako funkce fotometrických veličin v mikrovlnné oblasti

Nahraďme napěťovou odezvu aparatury na dopadající mikrovlnný tok 2,4 GHz ve vzorci (15) známou fotometrickou veličinou – propustností (případně pohltivostí) elektromagnetického mikrovlnného záření (EMVZ) v konkrétním stavebním materiálu o různé vlhkosti. Cílem toto kroku je, aby výsledky a výklad výsledků této práce dosáhly potřebné obecnosti a nezávislosti na experimentálním uspořádání. Vyjdeme z výsledků měření cihelného střepu, které ukazuje graf na obr. 3.

A. Vysušený vzorek tloušťky 0,02 m, na který dopadá tok EMVZ určený napěťovou odezvou čidla o velikosti 500 mV, pohltí část záření tak, že z opačné strany vzorku vystupuje záření, které vyvolá napěťovou odezvu 423,25 mV. Propustnost vzorku je

Aplikací (12) stanovíme absorpční součinitel, který je materiálovou vlastností vzorku nezávislou na jeho tloušťce:

B. Nechť je nyní tentýž vzorek zvlhčen na 12 % hmotnostních, což odpovídá podle (15) takovému poklesu mikrovlnného svazku po projití vzorkem, který odpovídá poklesu napětí snímače záření z 500 mV na 94,33 mV, tedy o 405,67 mV. Propustnost vzorku o vlhkosti 12 % hm. pro EMVZ je tedy t = 94,33/500 = 0,189. To podle (13) znamená, že propustnost přítomné vody ve vzorku je

a absorpční součinitel je podle (14)

Je zřejmé, že absorpční součinitel vody obsažené ve vzorku rychle roste s obsahem vody ve vzorku a hlavně to, že i menší obsah vody – v uvedeném případě 12 % hmot. – několikanásobně převyšuje absorpční součinitel suchého vzorku.

V tabulkách 1a, 1b a také v grafu na obr. 5 je uveden přepočet „přístrojové” funkční závislosti podle vztahu (15) na hledané obecnější relace mezi vlhkostí vzorku a jeho absorpčním součinitelem resp. absorpčním součinitelem vody obsažené ve vzorku. Měření se týká cihelného vzorku, ale jisté, že pro jiné materiály bude průběh (celkového) absorpčního součinitele na hmotnostní vlhkosti podobný.

Z fyzikální podstaty interakce mikrovln 2,4 GHz s vlhkým materiálem i z výše uvedených teoretických předpokladů vyplývá, že absorpční součinitel vody ve vzorku ze vztahu (14) lze s dobrou přesností považovat za nezávislý na stavebním materiálu, který vlhkost nese. Jinými slovy – průběh absorpčního součinitele volné vody obsažené ve vzorku v závislosti na objemové vlhkosti je stejný pro různé typy porézních materiálů. Pak lze tvrdit, že z hodnoty absorpčního součinitele vody α_v ve jakémkoliv stavebním materiálu, s nímž voda chemicky nereaguje, lze přímo stanovit objemovou vlhkost pomocí tab. 2. Bude však vhodné toto tvrzení experimentálně doložit.

Závěr.

A. V úvodní rešeršní části tohoto příspěvku byl uveden teoretický popis dynamiky šíření vlhkosti v porézních hmotách, jehož základem je Lykovova rovnice, která definuje součinitel kapilární vodivosti a gradient relativní vlhkosti, jenž vystupuje jako formální hnací potenciál. Pro snazší řešení rovnice šíření kapilární vlhkosti (4a) byla použita Boltzmannova transformace. Toto usnadnění má ale za následek, že prostorové rozložení vlhkosti v materiálu, které rovnice předpovídá pro různé časy od počátku navlhání, vede ke stejné závislosti součinitele kapilární vodivosti na vlhkosti. Je nutné ověřit, jak přesně tento model popisuje skutečnost.

B. Jako hlavní přínos tohoto příspěvku byla popsána mikrovlnná aparatura na měření vlhkosti ve stavebních materiálech a navržena metodika vyhodnocení výsledků měření. Na základě měření propustnosti mikrovlnného svazku cihlovými vzorky stejné geometrie a materiálu, ale s různými vlhkostmi, byla nalezena klíčová relace (15) mezi vlhkostí vzorku a přístrojovou odezvou. Z lineární charakteristiky snímače toku elektromagnetického mikrovlnného záření 2,4 GHz na aparatuře, kdy je výstupní napětí snímače v mV přímo úměrné výkonu svazku záření ve W resp. hustotě záření ve W/m², bylo možné pomocí vzorců (16) stanovit propustnosti vzorků pro záření 2,4 GHz a dále (z tloušťky vzorků) i součinitele absorpce – tedy standardně definované materiálové konstanty.

C. Z měření propustnosti vzorku z různými vlhkostmi vyplynulo, že jejich absorpce je výrazně závislá na obsahu vlhkosti ve vzorku. Na základě předpokladu, že vlhkost ve vzorku přispívá k celkovému součiniteli absorpce jako nezávislý aditivní příspěvek, který se přičítá k součiniteli absorpce suchého vzorku (α = α_s + α_v), je možné s touto aparaturou přímo měřit objemovou vlhkost ve vzorku.

Lze konstatovat, že metoda stanovení vlhkosti pomocí propustnost mikrovlnného svazku 2,4 GHz o vlnové délce 12,5 cm) je velmi účinná, rychlá, přesná, nedestruktivní, bezpečná a čistá.

Pokračování v příštím čísle

Příspěvek vznikl s pomocí výzkumného záměru MSM0021630511 „Progresivní stavební materiály s využitím druhotných surovin a jejich vliv na životnost konstrukcí" na fakultě stavební VUT v Brně.

Použitá literatura:
[1] Moudrý. I.: Aplikace mikrovln. záření pro stanovení změn vlhkosti dřeva a nedestruktivní zjišťování stavu dřevěných konstrukcí, VUT FAST, Brno,1985.
[2] Škramlík. J: Vlhkost v dutinách stavebních konstrukcí, VUT FAST, Disertační práce 2005.
[3] Šťastník S.: Fyzikální předpoklady pro popis komplexního vlhkostního šíření, interní zpráva, VUT FAST, Brno 2003.
[4] Garvan, F.: The Maple Book.
[5] Kutílek M.: Vlhkost pórovitých materiálů, SNTL, 1992.
[6] Mrlík F.: Vlhkostné problémy stavebných materiálov a konštrukcií, Alfa Bratislava, 1985.
[7] Kieβl, K.: Kapillarer und dampfförmiger Feuchtentransport in mehrschichtigen Bauteilen. Rechnerische Erfassung und bauphysikalische Anwendung, Dissertation Universität Essen-Fachbereich Bauwesen, Essen 1983.
[8] Horák, Z., Krupka, F.: Fyzika - příručka pro vysoké školy technického směru, svazek 2, str. 825, SNTL/ALFA, Praha 1976.