Součinitel tepelné vodivosti – praxe a teorie

Součinitel tepelné vodivosti je základem tepelnětechnických stavebních výpočtů. Podle definice to je materiálová veličina, kterou neovlivňuje tloušťka (ani jiné rozměry) vzorku z téhož materiálu. To však zcela neplatí pro běžné tepelné izolace a vzduchové mezery v tepelněizolačních souvrstvích. Stavební výpočty, byť pečlivé, se tak mohou zčásti míjet s realitou.

V Rochlových tabulkách z roku 1987 se uvádí hodnota součinitele tepelné vodivosti vzduchu λ = 0,0251 W/(mK) při teplotě 10 °C. Na obr. 1 jsou uvedeny hodnoty součinitele tepelné vodivosti vzduchových vrstev různých tlouštěk, které jsou formálně odvozeny z definice „lambdy”

kde i je hustota tepelného toku ve W/m², d je tloušťka vrstvy a Δt = (20 °C – 0 °C) = 20 K je rozdíl teplot tuhých ploch (dostatečně velkých vzhledem k tloušťce d), které ohraničují zkoumanou vrstvu.

Příspěvek proudění vzduchu není uvažován. Modrá křivka ukazuje, že součinitel λ klesá od hodnoty 0,541 W/(mK) pro tloušťku vrstvy 100 mm až na hodnotu λ = 0,0252 W/(mK) pro tloušťku vrstvy 0,1 mm!

Ameriku jsme samozřejmě neobjevili. U silných vrstev měříme jako dominantní příspěvek sálavé sdílení tepla. To se potvrdí tím, když opatříme plochy, které ohraničují vzduchovou vrstvu, nízkoemisivní neboli reflexní úpravou. Ukazuje to červená křivka na obr. 1; ta začíná u „dobré” hodnoty λ = 0,0524 W/(mK) pro vrstvu 100 mm a končí na hodnotě λ = 0,0252 W/(mK), stejně jako u modré křivky.

Lokální definice součinitele λ

Čím víc zmenšujeme tloušťku vzorku, zde vzduchové mezery, tím víc se výsledky „lepší” a víc konvergují k jediné hodnotě, tedy součiniteli tepelné vodivosti vzduchu podle Rochlových tabulek. V limitě pro nekonečně tenkou vrstvu dx dostaneme diferenciální tvar definice součinitele tepelné vodivosti.

nebo obecně, pro trojrozměrný případ

kde i je vektor hustoty toku tepla ve W/m², λ je součinitel tepelné vodivosti ve W/(mK) a grad vektorový operátor (derivace skaláru v trojrozměrném prostoru).

Co je vlastně součinitel lambda?

Abychom předešli nejednoznačnostem, považujeme (ve fyzice) za součinitele tepelné vodivosti hodnotu λ z diferenciálních vztahů (2), jak je tomu u vzduchu v případě Rochlových tabulek. Protože ale neumíme měřit teplotní spád na nekonečně tenké vrstvě, děláme většinou posloupnost měření při různých tloušťkách a výsledky extrapolujeme k nulové tloušťce. Materiály se ve smyslu vztahů (2) rozdělují na dvě skupiny:

„Správně” se chovající materiály, které dávají stejnou hodnotu λ podle (1) i (2). Těch je většina, jsou to kovy, betony a obecně všechny homogenní, neporézní materiály. Ostatní materiály. Mezi nimi je, jak bylo už uvedeno, vzduch.

Není těžké si uvědomit, že diferenciální definice (2a) a (2b) – známé také jako Fourierův zákon – popisují jen difúzi tepla, nikoliv sálání a proudění. Hlubší pohled říká, že Fourierův zákon – ani žádná jiná čistá diferenciální rovnice – nemůže z principu zaznamenat sálavý, tzn. dalekodosahový transport tepla sáláním, které se šíří rychlostí světla. Protože sálaní prostě „nevidí”.

Stavební tepelné izolace

Mezi materiály, které se více či méně nechovají „správně”, jsou i běžné tepelné izolace. Ukažme si to na příkladu běžného pěnového polystyrénu (EPS). Při jeho objemové hmotnosti 15 kg/m³ deklarují jejich výrobci často součinitel tepelné vodivosti λ = 0,0375 W/ (mK) při střední teplotě 10 °C.

Kdybychom součinitel tepelné vodivosti EPS měřili na vzorcích o velmi malých tloušťkách, naměřili bychom hodnotu λ = 0,0259 W/(mK). V ní je zahrnuta tepelná vodivost vzduchu při teplotě 10 °C a vodivost tuhé polymerní sítě PS, která se celkově podílí příspěvkem +3,21 % z hodnoty vzduchu.

Zbytek do celkové hodnoty λ = 0,0375 W/(mK), která se měří na makroskopických vzorcích EPS, tedy příspěvek λ_S = 0,0116 W/(mK), připadá na sálaní. To představuje podíl 30 %.

To, že se v izolacích šíří teplo i sáláním, je dávno známo. Sálavý paprsek se v EPS šíří přerušovaně; po několika mm je pohlcen, ale jiný pak je vyzářen. Důležitým parametrem sálání je součinitel absorpce k, pro bílý EPS cca k = 420 m^–1. Toto číslo říká, že intenzita sálavého klesne na 1/2, když v izolaci urazí 1,7 mm.

Třetinový podíl sálavé složky na celkovém prostupu tepla v pěnovém polystyrénu má znatelný vliv na jeho vlastnosti:

a) Z fyzikální podstaty věci je to strmější a více nelineární růst součinitele tepelné vodivosti s rostoucí teplotou, než u vzduchu. Tento součinitel roste u EPS se 4. mocninou termodynamické teploty; lze ho vyjádřit kvadratickým vztahem

kde t je teplota ve °C.

b) Sálavou složku v izolaci lze clonit (přerušit) termoreflexní fólií umístěnou na okraje nebo dovnitř izolační desky. Lze tak docílit hodnoty lambda až na úroveň 0,0259 W/(mK) při teplotě 10 °C. To má význam zejména při provádění střešních izolací nebo izolací pod podlahovým vytápěním, kde se vyskytují vyšší teploty.

c) Sálavá složka má velký vliv na rychlost ustavení ustálené teploty. Sálavé paprsky se šíří rychlostí světla, a i když jsou po několika mm pohlceny (zatímco nové vznikají), šíří teplo mnohem rychleji, než pouhá difúze tepla.

Tepelná izolace v neustálených podmínkách

Etablované stavební výpočty počítají ztráty či zisky tepla tak, jakoby v každém okamžiku byl v konstrukci ustálený teplotní profil. Může však jít jen o hrubý odhad; k ustálení teplot v konstrukci, např. při změně venkovní teploty, nedochází ani zdaleka ihned a při obvyklém střídání denních a nočních teplot k němu nemusí dojít nikdy.

Vzniká tak otázka, jestli v neustálených podmínkách nevykazují tepelné izolace vyšší propustnost tepla, než odpovídá difúzním výpočtům podle rovnice (3). A to proto, že ohřátá a chladná místa si v izolaci předávají, díky sálání, teplo na relativně velké vzdálenosti.

Rychlost ustálení teplot se počítá řešením rovnice vedení tepla, neboli difúzní rovnice, která má v jednorozměrné reprezentaci tvar

Fyzikálně tento zápis říká toto: Když do vrstvy elementární tloušťky ∂x „přitéká” více tepla, než které z druhé strany „odtéká”, tak se vrstva ohřívá. Hustotu tepelného toku, který se tím ve vrstvě „hromadí”, představuje člen na pravé straně. Člen na levé straně vyjadřuje rychlost stoupání teploty ve vrstvě, jejíž objemová tepelná kapacita je ρ·c (hustota × specifické teplo).

Podle rovnice (3), přesněji podle její dvojrozměrné nebo trojrozměrné verze, se počítá průběh teplot v konstrukci v libovolném čase od nějakého počátečního stavu (počáteční rozložení teplot, které známe). Musíme se však ptát, jak dalece tato rovnice popisuje realitu, když nezaznamenává prostup sálavého tepla. Respektive, že ho zaznamenává jen přes vyšší hodnotu součinitele λ = 0,0375 W/(mK).

Přistupme k problému tak, že do členu na pravé straně (3) položíme hodnotu λ = 0,0259 W/(mK), která vyjadřuje „čistou” difúzní vodivost v EPS. A k tomuto členu přidáme sálavý příspěvek tepla, které „se hromadí” v elementární vrstvě ∂x. Princip spočívá v určení sdílení sálavého tepla ve W/m³ mezi elementární vrstvou ∂x a jejím okolím z jedné i z druhé strany, včetně hranic izolace. Rozdíl obou hodnot je objemový tepelný příkon, který se ve vrstvě hromadí, resp. ztrácí a způsobuje tak ohřev, rep. chladnutí.

Přitom uvažujeme, že emisivita vrstvy ∂x je k·∂x a dále že emitovaný paprsek je po absolvování vzdálenosti l v izolaci zeslaben faktorem e^–k·l. Princip tohoto postupu byl poprvé popsán v [2]. Jeho výsledek pro emisivity obou hranic desky ε₁ = ε₂ =1 je integrální rovnice

kde

je sdílení tepla ve W/m³ mezi elementární vrstvou o souřadnici x a tloušťce ∂x na jedné straně a hranicí „1” v místě x = 0,

je sdílení tepla ve W/m³ mezi elementární vrstvou o souřadnici x tloušťce ∂x na jedné straně a vrstvou izolace „pod” ní, tzn. v intervalu (0, x),

je sdílení tepla ve W/m³ mezi elementární vrstvou o souřadnici x a tloušťce ∂x na jedné straně a hranicí „2” v místě x = L,

je sdílení tepla ve W/m³ mezi elementární vrstvou o souřadnici x tloušťce ∂x na jedné straně a vrstvou izolace „nad” ní, tzn. v intervalu (x, L).

V rovnici (4) a navazujících vzorcích je ρ objemová hmotnost v kg/m³, c je specifické teplo v J/(kg·K), λ je součinitel tepelné vodivosti EPS odpovídající „čisté” difúzi tepla, T je termodynamická teplota v K, τ je čas v s, σ = 5,67·10^–8 W/(m²K⁴) je Stefanova Boltzmannova konstanta, k = 420 m^–1 je součinitel absorpce v EPS, L, x a y jsou délkové souřadnice v m.

V příštím čísle tohoto časopisu si ukážeme výsledky numerického řešení rovnice (4) pro pěnový polystyrén.

Literatura a zdroje:

[1] Hejhálek Jiří: Šedý a bílý pěnový polystyren – popis termoizolační funkce (2), Stavebnictví a interiér č. 7/2010, str. 23, www.stavebnictvi3000.cz/c3546.

[2] Hejhálek Jiří: NEOPOR – tepelná izolace nové generace, Stavebnictví a interiér č. 9/2005, str. 42, www.stavebnictvi3000.cz/c1610.