Přestupové tepelné odpory obvodové konstrukce

Obvodová stěna nebo střecha, která dělí teplé a studené prostředí, převede v ustáleném stavu právě tolik tepla, jaké si stačí s prostředím předat. Aby k předání došlo, musí být povrch stěny na teplé straně chladnější a povrch na studené straně teplejší, než je sousední prostředí. Tento fyzikálně nutný rozdíl teplot vedl k pojmu odpor při přestupu tepla. Ten bude v článku diskutován a zároveň podán praktický návod k jeho výpočtu.

Pokud bychom teoreticky místo rozbité okenní výplně dočasně připevnili k rámu okna tenkou obalovou překližku, jejíž součinitel prostupu tepla U je 60 Wm^-2K^-1, chránila by nás ve skutečnosti mnohem lépe – propouštěla by tepelné ztráty jen na úrovni cca 4 Wm^-2K^-1. Teplotní spád na výplni by pak byl od -0,3 °C do -2,7 °C. Pokud bychom místo překližky použili fólii alobalu se součinitelem prostupu 750 Wm^-2K^-1 a s emisivitou 0,1 pro tepelné záření, skutečná ochrana by byla na úrovni 2,2 Wm^-2K^-1. Oba příklady málo izolujících výplní popisují děj, kdy se teploty na obou površích dělicí stěny ustaví tak, aby stěna převedla právě tolik tepla, kolik si dokáže vyměnit s okolím. To vede ke zlepšení jejich tepelně izolačních vlastností.

Základní popis

Přestup tepla mezi konstrukcí a okolím je popsán v literatuře, např. v [1] , [2] a[3]. Zavádí se součinitel přestupu tepla ve Wm^-2K^-1, který má sálavou složku α_s a složku přestupu při proudění α_k. Součinitel celkového přestupu tepla je součtem obou složek, což platí jak pro vnitřní (index i), tak venkovní povrch (index e):

(1a), (1b)

Dále se zavádí odpor při přestupu tepla na vnitřní i venkovní straně Ri a Re,

(2a), (2b)

který je z fyzikálního principu roven podílu teplotní změny na přestupovém rozhraní a celkové hustoty ztrátového toku tepla Z ve Wm^-2:

(3a), (3b)

Až dosud jednoduchá teorie přinese komplikace, máme-li ji aplikovat na konkrétní případy. Týká se to i „naší” obvodové stěny, která odděluje venkovní a vnitřní prostor. Pokusme se pro ni stanovit členy v (1a) a (1b).

Přestup tepla při proudění vzduchu

Přesné určení okamžitého i průměrného součinitele α_k přestupu tepla při proudění není možné, protože závisí na mnoha proměnných okolnostech, které nelze přesně sledovat, ani teoreticky ani experimentálně. Podstatná pro jeho přibližné stanovení je rychlost proudění vzduchu podél zdi. Proudění může být přirozené nebo vynucené (vítr, umělá cirkulace), laminární, turbulentní nebo smíšené; rychlost přirozeného proudění pak závisí na materiálových veličinách pro vzduch, jako součinitel tepelné vodivosti, viskozita, hustota a specifická kapacita. Jaká je relace mezi těmito veličinami a součinitelem přestupu tepla při proudění, je dobře naznačeno např. v [2]. Základem je princip fyzikální podobnosti, který vedl k odvození bezrozměrných, tzv. podobnostních čísel, pojmenovaných po svých objevitelích². Každé z nich zůstává stejné pro stejné fyzikální jevy v různých konkrétních případech. Pomocí podobnostních čísel lze převést výsledky z laboratorního modelu na skutečné podmínky.

Pro naše účely převezmeme z [2] a z doporučení podle EN ISO 6946-1:1995 tyto výsledky:

• součinitel přestupu tepla při přirozeném proudění je pro horizontální tepelný tok α_k = 2,5 W·m^-2·K^-1,
• součinitel přestupu tepla při nuceném proudění je α_k = 4 + 4·w, kde w je rychlost proudění vzduchu v m/s.

Přestup tepla při sálání

Co se týče součinitele prostupu tepla při sálání, literatura podává většinou jen obecné nástroje pro výpočet výměny sálavého tepla mezi tělesy. Z odkazované literatury pouze Halahya a spoluautoři [2] uvádějí obecnou rovnici pro výpočet vzájemného sálání mezi tělesem a okolím, kterou lze na náš problém nasadit, totiž dvojný plošný integrál přes všechny povrchy v okolí sledovaného tělesa, v našem případě obvodové stěny. Řeší ji však jen pro případy výměny tepla v dutině mezi dvěma rovnoběžnými (a tedy přesně definovanými) stěnami nebo pro hypotetický případ dvou těles, z nichž jedno se nalézá uvnitř dutiny druhého. Ve [3] autor uvádí s odkazem na normu, ze které čerpal, součinitele přestupu tepla při proudění a sálání, viz tab. 1. Postup, jak byly uvedené hodnoty spočteny, neuvádí ani neodkazuje.

Hodnoty odporů při přestupu tepla podle norem ČSN 73 0540-3, ČSN EN ISO 6946 a ČSN EN ISO 13788 platných k dni této opravy (14.1.2008) jsou uvedeny na konci článku.

Řešit obecnou rovnici přes všechny povrchy, které se nalézají v sousedství vnitřní strany a zejména venkovní strany obvodové stěny, je technicky obtížné až neproveditelné. Je ale na místě otázka, nakolik je takové řešení nutné, když ani součinitele přestupu tepla při proudění neumíme stanovit přesně. Citujme úryvek z [4] z kapitoly o záření černého tělesa:

...dokonale černá tělesa, která by měla pohltivost záření rovnu jedné, přesně vzato nejsou, přesto však lze „dokonalou černost” uskutečnit dosti jednoduchým způsobem. Je totiž zřejmé, že malý otvor dutiny, jejíž vnitřní povrch je pokud možno černý, pohltí prakticky všechno záření a jeví se zvenčí jako povrch černého tělesa. ... Takový jev pozorujeme běžně u otevřených oken, díváme-li se na ně z ulice. Je-li velikost oken malá proti rozměrům v místnosti, pak se opakovaným odrazem i na odrážejících stěnách v místnosti z velké části pohltí zářivý tok vstupující do místnosti. Z okna vystupuje ven jen malá část ze vstupního toku, takže okno se nám jeví zvenčí jako tmavá nebo černá plocha bez zřetele k barvě stěn v místnosti.

Tento text naznačuje, že hustota zářivé energie v prostoru interiéru, který je od venkovního prostoru oddělen obvodovou stěnou, odpovídá záření černého tělesa o teplotě vnitřního vzduchu a stejné teplotě povrchů vnitřních konstrukcí podle zákona (4). A že vnitřek interiéru – vzduch, stěny, strop, podlaha, nábytek a další předměty – dohromady sálají povrchu obvodové stěny (nebo oknem ven) tepelné záření o intenzitě dané Stefanovým-Boltzmannovým zákonem (5). Chyba, která tímto podstatným zjednodušením vznikne, je menší, než je rozdíl skutečných poměrných emisivit teplých vnitřních povrchů od jedničky vyjádřený v procentech, tedy do 10 %, viz tab. 2.

Komplikovanější se může zdát odhad hustoty tepelného toku, které vyzařuje otevřená atmosféra a krajina směrem k venkovnímu povrchu stěny.

Ze zkušenosti víme, že při zatažené obloze (když teploty nejsou ovlivněny sluncem nebo v noci chladným vesmírem), jsou teploty vzduchu téměř stejné, jako teploty povrchů tepelně neaktivních útvarů a objektů v krajině (s výjimkou vodních ploch s velkou teplotní setrvačností). Rovnost povrchových teplot a teploty vzduchu ale nutně vyžaduje, aby celý venkovní prostor s atmosférou a krajinnými útvary zářil jako černé těleso (tedy s poměrnou emisivitou rovné jedné). V opačném případě by teplota těles musela být nižší než vzduch³. Závěr je, že také venkovní prostředí – vzduch, stromy, pole, kopce nevytápěné stavby atd. dohromady sálají jako černé těleso podle (5).

Tepelné sálání těles

V posledních týdnech 19. století odvodil Max Karl Ernst Ludwig Planck správný vzorec pro záření absolutně černého tělesa. To je definováno tak, že pohltí veškeré elektromagnetické záření, které na něj dopadne. Aby těleso mohlo zaujmout rovnovážný stav s okolím, musí také energii vyzařovat, jinak by se trvale zahřívalo. Nejsnazší způsob, jak absolutně černé těleso realizovat, je v podobě dutiny v nějakém tmavém materiálu spojené s vnějším prostředím malým otvorem. Každý paprsek, který otvorem prolétne do dutiny, se po jednom či více odrazech absorbuje na jejích stěnách – žádný odraz nemíří otvorem ven.

Celková hustota energie záření absolutně černého tělesa, tedy ta, kterou naměříme uvnitř dutiny popsané výše, je dána integrálem

(4)

To je Stefanův-Boltzmannův zákon, v němž

u je hustota zářivé energie v jednotce objemu v Jm^-3,
T je termodynamická teplota v K,
h = 6,62606876·10^-34 Js je Planckova konstanta,
c = 299792458 ms^-1 je rychlost světla ve vakuu,
k = 1,3806503·10^-23 je Boltzmannova konstanta a
λ je vlnová délka v m.

Černé těleso nemusí mít jen podobu dutiny uvnitř materiálu. Elektromagnetické záření o hustotě energie u podle (4) a s rozdělením spektrální hustoty podle integrandu v (4) se přirozeně vyskytuje i uvnitř atomové a molekulární, resp. krystalové struktury pevných a kapalných látek. Záření je zde v rovnováze s mechanickými pohyby a vibracemi atomů a molekul. V částicové reprezentaci to znamená, že jednotlivá kvanta záření (fotony) a kvanta vibrací (fonony) mají v průměru stejnou energii. Přitom probíhá intenzivní výměna energie mezi elektromagnetickým zářením a kmity mříže, tzn. mezi fotony a fonony. Fotony nepřetržitě zanikají tím, že předají energii krystalové mříži za vzniku fononů. V jiných místech naopak zanikají fonony (poklesnou amplitudy kmitů mříže) a z uvolněné energie vznikají fotony, atd.

Na povrchu pevné látky nebo kapaliny, v níž je přítomno záření o hustotě energie podle (4), uniká rychlostí světla tepelné záření ven. Je-li tento povrch rovný, lze unikající záření jednoduše spočítat z (4) jako

(5)

kde σ = 0,25·7,56464·10^-16·c = 5,67·10^-8 je Stefanova-Boltzmannova (někdy jen Stefanova) konstanta. Vztah (5) je druhý tvar Stefanova-Boltzmannova zákona, v technické praxi známější. Udává intenzitu vyzařování z povrchu absolutně černého tělesa. Pokud těleso není absolutně černé (tzn. že se dopadající záření částečně odráží), pak vztah (5) dostane tvar:

(6)

kde ε je poměrná emisivita tělesa, která nabývá hodnot v intervalu <0;1>. Pro leštěné kovy je poměrná emisivita pod 0,1. Nekovové materiály nebo kovy s hrubým oxidovaným povrchem mají poměrnou emisivitu většinou nad 0,9. Emisivity některých povrchů udává tab. 2.

Povrch s poměrnou emisivitou ε < 1, tzv. šedý povrch, má také nižší pohltivost, která se číselně rovná jeho emisivitě. Kdyby tomu tak nebylo, musel by se povrch v rovnovážném stavu trvale zahřívat (při emisivitě < pohltivost) nebo ochlazovat (opačné znaménko), což se nepozoruje.

Integrál Planckova zákona (4) v libovolných mezích vlnových délek on-line.

Vliv přestupu tepla při sálaní

Vraťme se k výpočtu součinitele přestupu tepla při sálání. V místnosti se vyskytuje elektromagnetické záření o hustotě podle (4). Na obvodovou stěnu dopadá pak záření o intenzitě

(7)

kde T_i = 273,15 + θ_i je termodynamická teplota vnitřního vzduchu a konstrukcí. Nechť má vnitřní povrch obvodové stěny emisivitu ε_i Záření podle (6), které na ní dopadne, se jednak pohlcuje v množství

(8)

a zbytek dopadajícího záření t se odráží zpět do místnosti a pohlcuje na stěnách

(9)

Vnitřní povrch stěny, který má teplotu T_ip = 273,15 + θ_ip (menší než je vnitřní teplota, T_ip ≤ T_i), bude naopak do místnosti vracet vlastní tepelné záření o intenzitě

(10)

Celková bilance sdílení sálavého tepla mezi vnitřním prostředím a vnitřním povrchem stěny Z je dána rozdílem (7) - (9) - (10) takto:

(11)

Podobně stanovíme celkovou bilanci sdílení sálavého tepla mezi vnějším prostředím a vnějším, studeným povrchem stěny R_e

(12)

kde ε_e je emisivita vnějšího povrchu stěny, T_ep = 273,15 + θ_ep je termodynamická teplota vnějšího povrchu stěny a T_e = 273,15 + θ_e je termodynamická teplota vnějšího prostředí. Aby se v obvodové stěně nehromadila energie, musí platit rovnice:

(13)

kde U_s je součinitel prostupu tepla stěnou. Pomocí dvou rovnic z (13) můžeme vypočítat dvě hledané neznáme teploty T_ip a T_ep. a podle rovnic (3a) a (3b) odpory při přestupu tepla sáláním R_se a R_si. Výsledky ukazuje pro vnitřní teplotu 20 °C a venkovní teplotu -15 °C tab. 3. Údaje v tab. 3 však nezapočítávají příspěvek přestupů tepla při proudění vzduchu a tudíž neodrážejí skutečnost.

Vliv přestupu tepla při sálání a proudění

Zahrňme do výpočtů přestup tepla při proudění vzduchu podél obou povrchů obvodové stěny tak, jak jsme již popsali:

(14), (15)

kde w je rychlost proudění vzduchu v m/s. Budeme tedy řešit soustavu rovnic

(16)

Výsledky podle rovnice (16) pro stěny z tab. 3, tedy při započítání přestupu tepla při sálání i proudění jsou uvedeny v tab 4. Přitom byl zvolen součinitel přestupu tepla při proudění na vnitřním povrchu α_ik = 2,5 W·m^-2·K^-1 a součinitel přestupu tepla při proudění na venkovním povrchu α_ek = 8 W·m^-2·K^-1 , což odpovídá rychlosti proudění vzduchu 1 m/s. Pro emisivity byla zvoleny hodnoty ε_i = ε_e = 0,9. Podrobnější výpočty si může čtenář provést sám pomocí volně přístupného výpočtového programu na internetové stránce http://www.stavebnictvi3000.cz/vypocty/u_stena.php.

Vliv emisivity stěny

S klesající emisivitou povrchů stěn rostou odpory při přestupu tepla sáláním R_se a R_si. To může mít význam při doplňkové pasivní ochraně proti zimním tepelných ztrátám a letním ziskům. Např. obvodová stěna s hodnotou U = 0,38 W·m^-2·K^-1 může a termoreflexní úpravou vnitřního povrchu obvodové stěny na ε_i = 0,1 docílit až U = 0,33 W·m^-2·K^-1. Různé kombinace si může čtenář sám spočítat pomocí zmíněného výpočtového programu na http://www.stavebnictvi3000.cz/vypocty/u_stena.php.

Závěr

Přestup tepla mezi vnitřním či venkovním prostředím a oddělující obvodovou konstrukcí, který se odehrává v důsledku sálání těles a proudění vzduchu, není žádný objev. Ani to, že má přestup tepla vliv na povrchové teploty, které lze principiálně počítat s pomocí formalismu tzv. odporů při přechodu tepla. Odborná literatura je však skoupá na podrobnější popis této konkrétní situace včetně zpracování aplikační teorie a praktických početních postupů.

V době, kdy se pracuje se setinami jednotek Wm^-2K^-1, stojí za to vědět, že obvodová stěna s naměřenou hodnotou U = 0,30 Wm^-2K^-1 se ve skutečnosti chová lépe, propouští jen 0,28 Wm^-2K^-1. A že dřevěný rám okna tloušťky 78 mm, u kterého spočítáme z tabulkových hodnot součinitele tepelné vodivosti hodnotu U_f = 2 Wm^-2K^-1, bude v reálné stavbě propouštět jen 1,4 Wm^-2K^-1. Tyto hodnoty se ještě zlepší za bezvětří. Dalšího zlepšení až o několik setin lze docílit termoreflexním povrchem. Čím je ale tepelná obálka budovy silnější, tím je efekt přestupů tepla na zlepšení hodnoty U menší.

K tomu, ale i k dalším zjištěním měl přispět tento článek a volně a bezbariérově využitelný výpočtový program na http://www.stavebnictvi3000.cz/vypocty/u_stena.php.

[1] Vaverka, J., Chybík, J.: Mrlík, F.: Stavební fyzika 2 – stavební tepelná technika, VUT v Brně, VUTIUM, Brno 2000.
[2] Halahyja, M., Chmúrny, I. Sternová, Z.: Stavebná tepelná technika – tepelná ochrana budov, vydala JAGA GROUP, v.o.s., Bratislava 1998.
[3] Řehánek, J.: Tepelná akumulace budov, vydala ČKAIT, Praha 2002.
[4] Horák, Z., Krupka, F., Fyzika. Příručka pro vysoké školy technického směru, str. 842. SNTL, Praha 1976.

Doplnění ze dne 14. 1. 2008: Odpory při přestupu tepla podle současné normy

Při výpočtu součinitele prostupu tepla se v souladu s ČSN 73 0540-3:2005 a ČSN EN ISO 6946 uvažuje odpor při přestupu tepla na vnitřní straně svislých konstrukcí R_si = 0,13 m²·K/W, na vnitřní straně vodorovných konstrukcí s tepelným tokem zdola nahoru R_si = 0,10 m²·K/W a na vnitřní straně vodorovných konstrukcí s tepelným tokem shora dolů R_si = 0,17 m²·K/W. Při výpočtu vnitřní povrchové teploty se v souladu s ČSN EN ISO 13788 uvažuje odpor při přestupu tepla na vnitřní straně R_si = 0,25 m²·K/W, který odpovídá pomalejšímu proudění vzduchu v mezní vrstvě vzduchu v koutě nebo za nábytkem. Výjimku tvoří výplně otvorů, pro které se pro toto hodnocení uvažuje R_si = 0,13 m²·K/W. (zdroj: Šála, Jiří: Katalog TEPELNÉ OCHRANY BUDOV z kompletního cihlového systému POROTHERM, vydal Wienerberger cihlářský průmysl, červen 2007)

¹ Autor děkuje Ing. Janu Škramlikovi, PhD. z VUT Brno, fakulty stavební za cenné připomínky, které vedly k podstatnému zkvalitnění textu.
² Reynoldsovo číslo , Nusseltovo číslo , Prandtlovo číslo a Grashofovo číslo , kde α_k je součinitel prostupu tepla při proudění, w rychlost proudění, ν je kinematická viskozita vzduchu, l je charakteristická délka, λ je součinitel tepelné vodivosti, c je specifická tepelná kapacita vzduchu a ρ je hustota vzduchu.
³ Mějme malou plochu, třeba sochu, umístěnou v krajině, která má termodynamickou teplotu T a poměrnou emisivitu ε_s. Do prostoru socha vyzařuje teplo s intenzitou ε_s·σ·T⁴. Nechť má dále okolní venkovní prostředí stejnou teplotu a pohltivost ε_v. Zanedbejme přímo odrazy od prostředí. Potom bude plocha z okolí pohlcovat tepelné záření o intenzitě ε_v·ε_s·σ·T⁴. V ustálených podmínkách je vydané a přijaté teplo stejné ε_v·ε_s·σ·T⁴ = ε_s·σ·T⁴. Odtud plyne ε_v = 1, což je poměrná emisivita černého tělesa.