Šedý a bílý pěnový polystyren – popis termoizolační funkce (2)

V minulém čísle SI 6/2010 jsme popsali sálavou složku transportu tepla v pěnových a vláknitých izolacích. V tomto čísle k ní zapracujeme složku vedení tepla vzduchem, který v těchto izolacích tvoří až 98 % hmotnosti. Ukážeme, jak se obě složky, tj. sálání a vedení tepla ovlivňují či doplňují a jaké to má důsledky pro praxi. Z nich je důležitá podstatná závislost tepelné vodivosti na teplotě.

V ustálených podmínkách musí být tok tepla, který vstupuje na teplé straně do izolace, stejný, jako tok, který na studené straně z izolace vystupuje. Tentýž tok logicky probíhá i každou vrstevnicí izolace. Pro jednoduchost budeme uvažovat, že je tepelný tok kolmý k rovině deskové izolace v celé její ploše a navíc že je v každém místě plochy stejný. V praxi to znamená, že je (ideálně nekonečná) deska izolantu dané tloušťky ohraničena dvěma tuhými stejnoměrně ohřátými plochami, kde každá je na různé teplotní hladině. Pak lze problém tepelných toků řešit, bez újmy na obecnosti, jako jednorozměrnou úlohu.

Vodivostní teplotní pole

V běžných pěnových nebo vláknitých tepelných izolacích má dominantní objemový podíl vzduch, a tak je nutné čekat, že vzduch zde přenese významnou část prostupujícího tepla vodivostním mechanismem. Následující odstavce se proto budou týkat pouze „klasické” vodivosti vzduchu v izolaci.

Tab. 1 ukazuje součinitel tepelné vodivosti λ při různých teplotách převzatý z [1]. Všechny hodnoty λ leží téměř na přímce, která má při proměnné termodynamické teplotě T (K) rovnici:

kde a = 0,003174 W/(mK) je konstanta, která je v případě ideálního plynu nulová, a b = 7,77·10^-5 W/(mK²) je součinitel úměrnosti. Standardní chyba této lineární regrese je menší než 0,2 %.

V ustálených podmínkách platí, že je hustota tepelného toku v celé tloušťce izolace stejná. Hustota tepelného toku I (ve W/m²) je přitom úměrná teplotnímu gradientu a součiniteli λ:

Pro konstantní λ musí být i gradient dT/dx konstantní. To znamená lineární průběh teploty v izolaci. Ve skutečnosti součinitel λ konstantní není a tudíž ani průběh teploty. Abychom tento průběh teploty T(x) v izolaci určili, zderivujeme rovnici (2)

Tato rovnice představuje základní fyzikální zákon, totiž že energie, v tomto případě teplo, se v ustáleném stavu nikde v izolaci neztrácí ani nehromadí. Je to princip kontinuity či obecněji zákon zachování energie. Vyjádříme-li λ pomocí rovnice (1) a dále dλ/dx jako dλ/dx = (dλ/dT)·(dT/dx) = b·(dT/dx), dostaneme

Řešení, tedy integrál T_K(x) z diferenciální rovnice (2), má analytický tvar

kde λ₁ = a + b·T(0) a λ₂ = a + b·T(L) jsou součinitele tepelné vodivosti na okrajích izolace, tedy v místech se souřadnicemi x = 0, resp. x = L.

Sálavé teplotní pole

V minulém díle tohoto článku [2] jsme ukázali, že teplotní pole řízené pouze sáláním, lze vyjádřit – analogicky rovnici (2) pro vedení – rovnicí

kde σ = 5,67×10^-8 W/(m²K⁴) je Stefanova - Boltzmannova konstanta a k (v m^-1) je absorpční součinitel. Pro teplotu T(x) v hloubce x izolace, v níž se teplo šíří jen sáláním, potom je

Vodivostní a sálavé teplotní pole

Zderivujeme-li výraz (5)

a k němu přičteme rovnici (3), dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici, jejíž řešení – funkce T = T(x) – vyjadřuje teplotní pole v izolací, v níž se teplo šíří vedením a sáláním:

Řešení rovnice (7) jsme hledali numericky jako kombinaci složek (4) a (6), měnící se v závislosti na hloubce x. Tedy ve tvaru

Po dosazení rovnice (8) do (7) jsme hledali takové hodnoty parametrů p a q, aby se funkce T(x) co nejvíce blížila požadavku (7) pro všechna x v mezích tloušťky izolace <0, L>.

Výsledky

Pozornost si zaslouží výrazná teplotní závislost součinitele tepelné vodivosti vzduchových izolací, mezi něž řadíme i pěnový polystyrén nebo minerální vlnu. Tato závislost ostatně vyplynula ze všech modelů zahrnujících vliv sálání, které byly v tomto časopise uveřejněny. Až nyní je ve výpočtech uplatněna podmínka (7), tedy princip kontinuity pro společné vedení i sálání tepla, z něhož jsou všechny výsledky odvozeny. Tím došlo ke zpřesnění výpočtů, nehledě na to, že teorie tím získala pevnější základ.

Tab. 2 uvádí střední hodnoty součinitele tepelné vodivosti a podíl sálavé složky v izolaci při velkých teplotních spádech. I když se mohou zdát extrémní, přesto se s nimi nezřídka setkáváme: v zimně není mráz pod –25 °C překvapivý, stejně tak jako teploty přes +60 °C pod sluncem rozpálenou střechou v létě. I před těmito extrémy by měla izolace vnitřek domu chránit.

V zimě izolace chrání lépe, než počítáme, v létě naopak hůře. Rozdíl mezi součiniteli tepelné vodivosti (lambda) 0,035 W/(mK) v zimě a 0,045 W/(mK) je relativně velký s ohledem na to, že se v energetických výpočtech počítá průměrný součinitel prostupu U na tři platné číslice (ale pracuje s konstantní lambdou).

Tab. 2 také ukazuje, jak se vzájemně doplňují kondukční a sálavá složka transportu tepla izolací. Přibližujeme-li se např. od teplého k chladnému okraji izolace, podíl kondukční složky roste a sálavé, která tvoří doplněk do 1, naopak klesá. Dobře to ukazuje graf na obr. 1. Obě složky sdílení tepla se vzájemně obměňují: teplo šířené vedením se po čase změní v tepelné záření a naopak. S klesající teplotou izolace (tj. rostoucí vzdáleností od teplého okraje) se ale více sálavého tepla pohltí (a dál šíří vedením) než kolik se ho vyzáří (a dál pak postupuje sáláním). Matematický popis toho je, že „hnací” gradient pro sálavý tok klesá, d²T⁴/dx² << 0, zatímco „hnací” gradient pro vodivost roste, d²T/dx² > 0. T = T(x) je skutečný teplotní průběh v izolaci, který popisuje funkce (8), získaná řešením rovnice (7). Záření se tedy ztrácí v izolaci, ale ve stejném místě se objevuje jako teplo, které zvýší tok tepla vedením.

V tab. 3 jsou uvedeny hodnoty součinitele tepelné vodivosti vzdušné izolace pro různé teploty a podíl, který připadá na sálání, respektive vedení tepla. Hodnoty byly spočteny stejně jako u tab. 2, ale pro velmi malý, jednostupňový rozdíl okrajových teplot kolem jmenovité teploty.

Aby výrobci stavebních izolací nabídli zdánlivě levnější řešení a ušetřili za suroviny, extrémně vylehčují izolace až na úroveň objemové hmotnosti 15 kg/m³ či ještě menší. S tím ale zhoršují jejich tepelně izolační vlastnosti. Např. u bílého pěnového polystyrenu je nejnižší lambda cca při objemové hmotnosti 40 kg/m³, při snižování této „objemovky” se izolační schopnost zhoršuje. To lze vysvětlit jedině přítomností sálavé složky transportu tepla, která roste s tím, jak řídne izolace.

S rostoucí teplotou izolace podíl sálavé složky roste s tím i součinitel lambda, který při 50 °C dosahuje již hodnoty 0,05 W/(mK).

Přenáší-li izolace velký teplotní rozdíl, výsledný součinitel její tepelné vodivosti je s dostatečnou přesností aritmetickým průměrem vodivostí na „studeném” a „teplém” okraji. To vede k tomu, že její izolační schopnost je citelně lepší v zimě, ale naopak horší v létě. Např. v zimních mrazech –25 °C je střední hodnota součinitele lambda 0,035 W/(mK), kdežto v létě, když pod sluncem rozpálenou krytinou dosáhne teplota přes 60 °C, je to už nad 0,045 W/(mK), tedy cca o 60 procent více.

Literatura a zdroje:

[1] Milan Rochla: Stavební tabulky, SNTL, Praha 1987
[2] Hejhálek Jiří: Šedý a bílý pěnový polystyren a jeho termoizolační funkce, Stavebnictví a interiér 6/2010, str. 26.

Čtěte dál na stejné téma

Bílý a šedý pěnový polystyren a princip jeho tepelně izolační funkce
NEOPOR - tepelná izolace nové generace
Šíření tepla skrze bílý a šedý pěnový polystyren a jiné lehké tepelné izolanty
Šedý pěnový polystyren NeoFloor a GreyWall – izolace nové generace nově na trhu
Šedý a bílý pěnový polystyren – popis termoizolační funkce
Reflexní ochrana tepelné izolace ve střechách a fasádách