Šíření tepla skrze bílý a šedý pěnový polystyren a jiné lehké tepelné izolanty

V příspěvku je analyzován průběh teploty ve vrstvě tepelné izolace ve směru teplotního spádu kolmém na plochu desky s ohledem na požadavek, aby v ustálených podmínkách byla konstantní hustota toku tepelné energie v izolaci. Článek navazuje na příspěvek NEOPOR - tepelná izolace nové generace ze září 2005 a opravený a doplňující text Bílý a šedý pěnový polystyren a princip jeho tepelně izolační funkce uvedený v tomto vydání.

V jednorozměrném modelu budeme uvažovat desku z tepelně izolačního materiálu o tloušťce L, která je na teplé straně v kontaktu s hutnou plochou – stěnou – o termodynamické teplotě T_int a o relativní emisivitě (pohltivosti) rovné jedné. Na studené straně je izolační deska v kontaktu se stejnou stěnou, ovšem o nižší teplotě T_ext < T_int . Vztah mezi termodynamickou T v kelvinech běžnou teplotou θ ve °C je T = θ + 273,15.

Ustálené tepelné podmínky jsou definovány tak, že izolační vrstvou prostupuje tepelná energie, ale teploty, které se od sebe liší v různých hloubkách izolantu od teplého okraje, se v čase nemění. Nejde tedy o rovnovážný stav. Směr šíření tepla je kolmý na plochu izolantu (ve stejné hloubce je teplota stejná a tok tepla ve směru rovnoběžném s plochou izolantu je nulový). Za ustálených podmínek pak logicky musí vždy platit, že celkový tok energie, realizovaný společně vedením a sáláním tepla mezi teplým a studeným povrchem deskového tepelného izolantu, je ve všech tloušťkách stejný. (Energie se nikde v izolantu nemůže hromadit. Aby se teploty s časem neměnily, musí teplo, které do dané vrstvy přiteče, také v odtéct).

Hustotu toku sálané (zářivé) energie I(x), která protéká tepelnou izolací v hloubce x od teplého okraje izolace, určíme analogicky s postupem uvedeným v článku [1]. Spočítáme tepelné záření, které do dané vrstvy o nekonečně malé tloušťce přitéká z teplé strany, a od něho odečteme tepelné záření, které do stejné vrstvy přitéká z chladné strany. Po započítání záření hutných stěn, mezi nimiž se izolace nachází, dostaneme

(1)

kde I(x) je hustota toku tepelného záření v hloubce x od teplého okraje deskového izolantu,
σ = 5,67·10^-8 W/K^-4·m^-2 je Stefenova Boltzmannova konstanta,
T(y) je termodynamická teplota v hloubce y od teplého okraje deskového izolantu,
k je součinitel absorbce pro tepelné záření.

Lineární pokles teploty

Budiž pokles teploty mezi teplým a studeným čelem deskového tepelného izolantu lineární a dán rovnicí

(2) v níž je

Potom hustota toku I(x) tepelného záření podle rovnice (1) v hloubce x od teplého okraje deskového izolantu je

(3)

kde F(E) je funkce plynoucí z okrajových podmínek vyjádřena vztahem

F(E) = e^E.(E⁴-4.E³+12E²-24E+24) . (4)

Integrál (3) byl z rovnice (1) vypočítán pomocí substituce ε = A_lin + k·y pro první člen v (1) a ε = –A_lin – k·y pro druhý člen v (1). Tyto substituce vedou k neurčitým integrálům typu, F(ε) = ∫ e^ε.ε⁴ , jejichž řešení je (4).

Ze substitucí plynou i čtyři okrajové hodnoty v obou integrálech v (1) A_lin + k·x a A_lin resp. –A_lin – k·x a = –A_lin.

Na obr. 1 je znázorněn průběh hustoty zářivého toku v různých tloušťkách izolace (červená čára) za předpokladu, že teplota v izolaci klesá lineárně s tloušťkou podle rovnice (2). Součinitel absorpce izolantu byl zvolen k = 736 m^-1, tloušťka 0,12 m. Teplota na teplém okraji je 21 °C, teplota na studeném okraji –15 °C.

Na první pohled je vidět, že průběh zářivého toku v závislosti na tloušťkové souřadnici je velmi vzdálen konstantě. Za pozornost zejména stojí skokový pokles hustoty toku záření v blízkosti obou okrajů. Aby bylo splněno pravidlo, že v ustálených podmínkách je celková hustota toku tepelné energie ve všech hloubkách tepelného izolantu stejná, musela by vodivostní složka toku tepelné energie nelinearitu zářivého toku kompenzovat tak, aby součet hustot zářivého toku a vodivostního toku byl konstantní. Jenže tak tomu být nemůže, protože při lineárně klesající teplotě v izolaci je hustota toku tepla vedením v různých tloušťkách právě konstantní. Tudíž její součet s tokem záření by tak připomínal červenou křivku z obr. 1 posunutou nahoru. Je zřejmé, že lineární pokles teploty mezi teplým a studeným povrchem stěn, mezi nimiž je izolant, je pro zvolenou hodnotu k = 736 m^-1 neuskutečnitelný.

Nelineární pokles teploty

Předpokládejme nyní, že lineárně se vzdáleností od teplého čela deskového izolantu klesá čtvrtá mocnina termodynamické teploty, tedy že platí

(5) kde

(5)

Teplota T (v první mocnině) tedy opět klesá od T_int k T_ext, ale pokles teplot mezi teplým a studeným okrajem je nelineární. Rozdíl mezi tímto poklesem a lineárním poklesem podle vztahu (2) po přepočtu na °C ukazuje obr. 2. Na první pohled se zdá, že odchylka je nepodstatná. Jenže na řešení rovnice (1), která je v teplotách nelineární, se znatelně projeví.

S pomocí substituce ε = A_nelin + k·y pro první člen v (1) a ε = –A_nelin – k·y pro druhý člen v (1) můžeme provést integraci rovnice (1), analogicky s postupem, který vedl k rovnici (3), takto:

(6)

kde F(E) je funkce plynoucí z okrajových podmínek vyjádřena vztahem

F(E) = e^E.(E-1) . (7)

Posledně uvedené substituce vedou k neurčitým integrálům typu F(ε)=∫ e^ε·ε, jejichž řešení s okrajovými podmínkami A_nelin + k·x a A_nelin resp. –A_nelin – k·x a = –A_nelin je (7).

Na obr. 3 je graficky znázorněn průběh hustoty zářivého toku v různých tloušťkách izolace pro nelineární pokles teploty v izolantu podle rovnice (5). Součinitel absorpce izolantu byl zvolen k = 736 m^-1, tloušťka 0,12 m. Ostrý nárůst respektive pokles hustoty zářivého toku na teplém, resp. studeném okraji izolantu odehrávající se v hloubkách do 1 cm je stejný jako v grafu na obr. 1 (pro lineární pokles teploty), ale uvnitř izolantu je průběh hustoty zářivého toku konstantní. Dodržení podmínky kontinuity toku tepla by znamenalo, že v těchto místech (uvnitř izolantu) by tok tepla vedením musel být také konstantní. A to opět není možné, protože při konstantním součiniteli tepelné vodivosti λ je tok roven

jenže pokles teploty (derivace) není konstanta, neboť platí

(8)

Přechodový odpor

Malé hustoty zářivého toku v blízkosti přechodu mezi opticky hustým (k → ∞) a opticky řidším prostředím (zde k =736 m^-1) lze vykompenzovat ustavením teplotního skoku, kdy na teplém rozhraní prudce klesne teplota o člen ΔT_int na hodnotu T₀ = T_int – ΔT_int a na studeném rozhraní o teplotu ΔT_ext na hodnotu T_L = T_ext + ΔT_ext. Trochu to připomíná potenciálový skok na diodovém rozhraní. Na obr. 1 a obr. 3 je vliv těchto skoků na průběh hustoty záření vyjádřen modrou přímkou. V rovnicích (3) a (6) se teplotní skok na rozhraní vyjádří tím, že v prvních dvou členech na pravé straně rovnic uvedeme místo T_int hodnotu T₀ = T_int – ΔT_int a místo T_ext hodnotu T_L = T_ext + ΔT_ext. Podíl

(9)

kde ve jmenovatelích je celková hustota toku tepelné energie, tzn. součet připadající na sálání a vedení tepla v izolantu, je přechodový odpor Rint resp. Rext mezi odlišnými prostředími na teplé resp. studené straně izolantu. Zatím jsme ale nenašli takový průběh teplotního pole v izolantu, při němž by součet tepelných toků připadajících na sálání a vedení, tedy jmenovatel, byl konstantní v celé tloušťce izolantu.

Lineární pokles čtverce teploty

Shrňme si, co zatím víme.

A. Klesá-li v tepelném izolantu ve směru od teplého konce ke studenému lineárně teplota (v první mocnině), potom podle obr. 1 a rovnice (3) klesá také hustota tepelného záření. Prostup tepla vedením je ale v tloušťce izolantu konstantní, což přímo plyne z linearity poklesu teploty. Součet obou toků tedy klesá s rostoucí vzdálenosti od teplého okraje izolantu a není tedy konstantní.

B. Klesá-li v tepelném izolantu ve směru od teplého konce ke studenému lineárně čtvrtá mocnina teploty, potom podle obr. 3 (modrá křivka) a rovnice (6) doplněné o teplotní skoky na okrajích je konstantní hustota toku tepelného záření. Prostup tepla vedením ale roste s tím, jak roste absolutní hodnota záporné derivace (8). Součet obou toků tedy roste se vzdálenosti od teplého okraje izolantu a není tedy konstantní.

Při pozornější úvaze se nabízí východisko. Můžeme uvažovat, že zářivý mechanismus přenosu je kombinací tří případů, kdy s různým zastoupením lineárně s tloušťkou izolace klesá a) první mocnina termodynamické teploty, b) druhá mocnina teploty, c) čtvrtá mocnina teploty. Speciálním případem, který by se dal nazvat zlatou střední cestou, je, kdy uvažujeme pouze druhý případ (lineárně se vzdálenosti klesá druhá mocnina teploty) a příspěvky a) a c) jsou nulové. V tomto případě bude s tloušťkou klesat hustota zářivého toku a růst prostup tepla vedením, což je třeba očekávat. Pak platí

(10)

kde F(E) = e^E.(E²-2.E+2)

T₀ = T_int – ΔT_int,
T_L = T_ext + ΔT_ext,

Při integraci rovnice (1) lze použít substituce ε = A + k·y pro první člen v (1) a ε = –A – k·y pro druhý člen, které vedou k integrálům typu F(ε) = ∫ e^ε. ε²

V řadě případů nabízí „střední cesta” výborný výsledek, tzn. konstantní celkový tok tepla v celé tloušťce izolantu. Pouze v případě izolací s velkým absorpčním součinitelem, kdy je silně potlačen sálavý mechanismus šíření tepla v izolaci, je nutné započítat příspěvek a).

Na obr. 4 je graf závislosti hustoty zářivého toku, prostupu tepla vedením a jejich výslednice (součtu) na tloušťkové souřadnici. Tloušťka izolace je 0,12 m a absorpční součinitel izolantu je 736 m^-1. Součinitel tepelné vodivosti materiálu (většinou vzduchu) je 0,025 W·m^-1·K^-1. Pro rozdíl teplot od 21 °C do -15 °C je výsledná hustota toku tepla 11,16 W/m². To odpovídá tepelnému odporu izolace 3,22 m²·K/W (prostup tepla 0.31 W·m^-2·K^-1) a součiniteli tepelné vodivosti izolantu 0,0372 W·m^-1·K^-1. Přechodové odpory jsou R_int = 3,32·10^-2 m²·K/W při skokovém poklesu o 0,37 °C a R_ext = 3,85·10^-2 m²·K/W (0,43 °C). Na teplém okraji je hustota zářivého toku I(0) = 4,3 W/m², což odpovídá 38,5 % celkového toku tepelné energie izolantem. Na studeném okraji je to necelých 30 %.

Zmenšíme-li tloušťku izolace na 0,08 m, bude výsledný tok tepla 16,55 W/m². Odpor izolace bude 2.18 m²·K/W a součinitel tepelné vodivosti izolantu 0,0368 W·m^-1·K^-1. Přechodové odpory zůstanou přibližně stejné R_int = 3,38·10^-2 m²·K/W (pokles o 0,56 °C) a R_ext = 3,81·10^-2 m²·K/W (0,63 °C). Na teplém okraji bude hustota zářivého toku I(0) = 6,4 W/m², což odpovídá stejnému podílu 38,7 % z celkového toku. Na studeném okraji to opět bude necelých 30 %.

Při tloušťce izolace 0,08 m zvýšíme absorpční součinitel na 1177 m^-1. Modelujeme tak vznik Neoporu či šedého polystyrenu. Výsledný tok tepla se sníží na 14,61 W/m². Součinitel tepelné vodivosti pak bude 0,0325 W·m^-1·K^-1. Přechodové odpory se sníží na R_int = 2,4·10^-2 m²·K/W (teplotní schod o 0,35 °C dolů) a R_ext = 2,7·10^-2 m²·K/W (0,4 °C). Na teplém okraji bude hustota zářivého toku I(0) = 4,03 W/m², což odpovídá 27,6 % z celkového toku. Na studeném okraji to bude necelých 21,5 %.

Závěr

Za běžných stavebních podmínek je prostup tepla pěnovou tepelnou izolací typu expandovaný polystyren realizován z 30 až 40 procent zářivým mechanismem (sáláním). Uhlíkaté absorpční přísady, které zvyšují součinitel absorpce pěnového materiálu, tento podíl snižují až o třetinu a snižují tak měřitelný součinitel tepelné vodivosti.

Praktický dopad ve stavební praxi může mít skokový pokles teploty na teplém povrchu izolantu. Ten je tím větší, čím menší je tloušťka izolace – při tloušťce 12 cm vykazuje model EPS pokles 0,37 °C a při tloušťce 8 cm už 0,56 °C. Tento pokles může mít nepříznivý vliv na celoroční bilanci zkondenzované a odpařené vlhkosti. Naopak skokový nárůst teploty na studené straně izolace může mít kladný vliv na venkovní kontaktní omítky.

Uhlíkaté absorpční přísady snižují kromě tepelné vodivosti izolace také skokové změny teploty na povrchu izolace - např. na teplém povrchu u tloušťky izolace 8 cm je pokles jen o 0,35 °C. Tím je příznivě ovlivněna bilance zkondenzované a odpařené vlhkosti.

Literatura a zdroje:

[1] Hejhálek, J.: NEOPOR – tepelná izolace nové generace, Stavebnictví a interier č. 9/2005, str. 42.
[2] Hejhálek, J.: Bílý a šedý pěnový polystyren a princip jeho tepelně izolační funkce, Stavebnictví a interier č. 1/2007, str. 14.

Čtěte dál na stejné téma

NEOPOR - tepelná izolace nové generace
Bílý a šedý pěnový polystyren a princip jeho tepelně izolační funkce
Šedý pěnový polystyren NeoFloor a GreyWall – izolace nové generace nově na trhu
Šedý a bílý pěnový polystyren – popis termoizolační funkce
Šedý a bílý pěnový polystyren – popis termoizolační funkce (2)
Reflexní ochrana tepelné izolace ve střechách a fasádách