Proporcionální, PI a PID regulátory ve výstavbě a jejich fungování

Regulace je pojem, který se zabydlel i ve stavebnictví včetně výstavby bytů a rodinných domů v souvislosti se samočinným řízením technických zařízení. Běžně je dnes regulována teplota vzduchu, vody nebo teplonosných médií. Regulovat lze osvětlení, vlhkost, dodávky čerstvého vzduchu, tlak apod. V tomto článku si na příkladě přiblížíme základy fungování regulátorů.

Dejme tomu, že chceme v místnosti držet teplotu na nějaké požadované úrovni. Ještě nedávno by se taková úloha řešila dobře známým způsobem: zatopili bychom v kamnech. Až bychom cítili, že je v místnosti teplo, přikládání paliva bychom přerušili a začali opět topit, až by bylo chladno.

Z technického pohledu jde o tzv. dvoustavovou regulaci, označovanou zkratkou ON/OFF (zap./vyp.). Definujme si její základní funkce a funkční prvky. Topič, v regulační terminologii akční člen, dodává palivo řízené jednotce tzn. kamnům. Aby rozhodl, kdy přikládat a kdy ne, potřebuje znát hodnotu regulované veličiny, tedy teplotu místnosti. Tu zaznamenají topičovy smysly, které nazveme čidlem. Údaje z čidla vyhodnocuje topičův mozek (regulátor) a na jejich základě spustí akci, tedy topí či netopí – podle toho, je-li chladno (říkejme tomu kladná regulační odchylka) nebo horko (záporná regulační odchylka). Akce regulátoru na základě vyhodnocení regulační odchylky se nazývá zpětná vazba.

Posilme smysly topiče teploměrem a chtějme, aby udržoval teplotu na úrovni 20 °C. Než získá zkušenost, asi zažehne v kamnech oheň a přikládání ukončí, právě když teploměr ukáže 20 °C. Ovšem s tím, jak bude dál hořet nespálené palivo, teplota ještě chvíli poroste, často vysoko nad 20 °C. Naopak, začne-li topič znovu topit, až když teplota klesne pod 20 °C, pokles teploty bude ještě chvíli pokračovat, než se plně rozhoří palivo. Regulovaná soustava bude kmitat, což je typické pro toto ruční vytápění.

Netrapme dál topiče a přibližme si, jak moderní regulátory zajišťují stabilní teplotu na požadované úrovni, bez přetápění či výpadků tepla, bez střídaní horka a chladu.

Základní vlastnosti vytápěné stavby

Chceme-li regulovat teplotu v domě, neuškodí znát některé jeho tepelně technické vlastnosti. Důležitým parametrem je tzv. měrná tepelná ztráta budovy H_T, která je udává v jednotkách W/K (více o měrné tepelné ztrátě v [1]). Tato veličina číselně vyjadřuje tepelnou ztrátu celého domu při rozdílu vnitřní a venkovní teploty 1 °C. Je závislá na rozlehlosti budovy, tepelné izolaci jejích obvodových stěn, střechy, oken a dveří, a také trochu i na její členitosti. Např. moderní cihlová stavba z tepelněizolačních zdicích bloků typu SI tloušťky 40 cm bez zateplení má při zastavěném objemu 510 m³ a celkové ploše ohraničujících ochlazovaných konstrukcí 412 m² měrnou tepelnou ztrátu H_T = 115 W/K, viz [2].

Praktický význam této veličiny je nejen v regulační technice, ale už při plánování výkonu kotle. Pokud požadujeme, abychom v klidu překlenuli trvalejší zimní mrazy např. –15 °C při teplotách uvnitř domu 20 °C, bude muset kotel ve výše uvedené stavbě dodat nejméně 115 W/K × (20 – (–15)) K = 4025 W. V rámci rozumné rezervy, jak uvidíme níže, je pak vhodné pořídit si kotel s vyšším výkonem, např. 8 kW.

Poznámka: Pod stejným pojmem (měrná tepelná ztráta budovy) se často myslí i změna ztrátového toku tepla vztažená jak na změnu venkovní teploty o 1 K (= 1 °C), tak i na jednotku ochlazované plochy budovy.

Parametry otopné soustavy

Jako zdroj tepla uvažujme kotel, jehož topná voda v primárním okruhu je trvale udržována na konstantní teplotě. Čtyřcestný směšovač, tedy akční člen, vhání podle stupně otevření 0 až 100 % této vody protékající primárním okruhem do sekundárního, tedy topného okruhu s radiátory. Stupeň otevření akčního členu je řízen regulátorem, který získává od teplotních čidel jednak zpětnovazební informace, tedy o okamžité prostorové teplotě v domu a také informaci o okamžité venkovní teplotě.

Proč regulátor potřebuje informaci o venkovní teplotě je zřejmé z této úvahy: Při venkovní teplotě teplotě 0 °C je celková tepelná ztráta našeho domu H_T (20;0) = 115 W/K × (20–0) K = 2300 W a při teplotě –15 °C, jak bylo už spočítáno,H_T (20;–15) = 4025 W. Regulátor ze znalosti venkovní teploty tedy dokáže odhadnout ustálenou dodávku tepla po vyhřátí domu na požadovanou teplotu, která pokrývá jen tepelné ztráty budovy a nikoliv „nabíjení" stavebních konstrukcí teplem.

Proporcionální regulátor

Tento regulátor otevírá akční člen úměrně velikosti regulační odchylky e(t), což je rozdíl požadované a skutečné teploty. Matematicky to lze vyjádřit dvěma rovnicemi:

s počáteční podmínkou

kde t je čas měřený od začátku vytápění,

S (–) je výstupní signál regulátoru, který představuje topný výkon v relativních jednotkách (S = 1 znamená plný výkon, S = 0 znamená vypnuto) a Z (K^–1) je proporcionální zisk regulátoru,

θ_P (°C) je požadovaná teplota a

θ(t) (°C) je okamžitá teplota.

Z počáteční podmínky plyne velikost konstanty Z = 1/(θ_P – θ₀). V našem případě teplovodního vytápění je akční člen (čtyřcestný směšovač) na začátku vytápění, kdy je dům prochladlý na teplotu θ₀, plně otevřený a vhání do topného okruhu maximální tok horké vody z primárního okruhu kotle. Vytápění tedy běží na 100 % výkonu. S tím, jak stoupá vnitřní teplota a klesá regulační odchylka e(t), se směšovač uzavírá až na 0 % výkonu.

V tom se ale skrývá nedostatek čistě proporcionálního řešení. Konstanta Z závisí nepřímo na počáteční teplotě vytápěného prostoru. Když tedy začneme vytápět dům prochladlý na venkovní teplotu –15 °C, bude konstanta jen Z = 1/(20 – (–15)) = = 0,0286 K^–1, ale pro venkovní teplotu +10 °C bude Z jen 0,1 K^–1, tedy 3,5 × větší. Jinak řečeno, při větších mrazech bude mít regulátor menší zisk. V závislosti na zisku Z regulátor ustálí teplotu θ_S vždy pod požadovanou teplotou θ_P vždy tak, aby platil vztah

kde θ_E je venkovní teplota. Pro náš dům o měrné tepelné ztrátě H_T = 115 W/K, ustáleném rozdílu teplot uvnitř a venku θ_S – θ_E a kotlem o tepelném výkonu P_K = 8000 W z toho plynou významné závěry: V prvním případě (venkovní teplota θ_E = –15 °C, Z = 0,0286 K^–1) by došlo k ustálení jen na teplotu θ_S = 8,28 °C (!) a ve druhém (θ_E = +10 °C, Z = 0,1 K^–1) na teplotu θ_S = 18,74 °C. Čím větší mráz, tím nižší ustálená teplota. Je zřejmé, že takovýto regulátor by zejména v zimě nesloužil tak, jak si představujeme.

Pásmo proporcionality

Abychom se vyhnuli nepříjemné závislosti konstanty Z na počátečních teplotách a tedy i nízkým ustáleným teplotám, zavedeme tzv. pásmo proporcionality o šířce Δθ, která je nastavitelným parametrem regulace. Je to teplotní interval, jehož horní hranici tvoří požadovaná teplota θ_P a spodní teplota θ_P – Δθ. Rovnice (1) má pak tvar:

Jestliže se regulovaná teplota nachází pod pásmem proporcionality nebo na jeho spodní hranici, tedy když platí θ(t) ≤ θ_P – Δθ, dává proporcionální regulátor povel topit na plný výkon. Uvnitř pásma proporcionality snižuje regulátor výkon topidla přímo úměrně s tím, jak regulační odchylka klesá od hodnoty Δθ k nule.

Výhodou je, že konstanta Z = 1/Δθ je nezávislá na počáteční teplotě a že ji lze libovolně nastavit. Úzkým pásmem proporcionality, tj. vysokou konstantou Z, částečně řešíme nevýhodu proporcionálního regulátoru, který nemůže docilit ustálené požadované teploty θ_P, protože při této teplotě netopí. Ustálená teplota se totiž vždy nachází uvnitř pásma proporcionality, a proto stačí zvolit tak úzký interval Δθ tak, že nám ustálená odchylka e(∞) << Δθ od požadované teploty nebude vadit. Háček je v tom, že extrémně úzké pásmo proporcionality, kdy Δθ → 0 (Z = ∞), vede k dvoustavové regulaci ON/OFF, u níž, jak už víme, může dojít k rozkmitání regulované veličiny kolem požadované hodnoty, které s v krajním případě nepodaří vůbec ustálit. V praxi proto volíme optimální šířku pásma proporcionality Δθ s ohledem na venkovní teplotu tak, aby požadovaná teplota naběhla co nejrychleji, a zároveň tak širokou, aby systém příliš nepřekmitl nebo se nestal nestabilním (s trvalým kmitáním). Jestliže regulujeme za situace, kdy je vysoká venkovní teplota, může pásmo proporcionality zasahovat pod venkovní teplotu, tzn. že začneme topit na snížený výkon.

Překmity teploty a také nestabilní, kmitající soustava jsou důsledkem setrvačnosti otopné soustavy. Setkal se s ní náš topič ze začátku článku, když přestal přikládat a teplota přesto stoupala. Podobně může stoupat teplota v domě s ústředním vytápěním, jestliže je při dosažení požadované teploty uzavřen směšovač, ale v topné soustavě ještě cirkuluje horká topná voda. Abychom nežádoucím překmitům předešli, měli bychom zvětšit pásmo proporcionality. Ale jak potom ustálit teplotu na požadované hodnotě?

Integrační regulátor

Chceme-li i při větší šířce Δθ ustálit teplotu (nebo jinou regulovanou veličinu) přesně na požadovanou hodnotu, což čistě proporcionálním regulátorem v principu nelze, použijeme integrační regulátor. Integrační regulátor může být použit i samostatně, ale nejčastěji je v kombinaci s proporcionálním. Regulátor, který obsahuje proporcionální i integrální složku, se nazývá PI regulátor (proporcionálně-integrační) a je popsán rovnicemi

kde T_I (v sekundách) je konstanta integračního členu regulátoru. Ostatní proměnné a parametry byly popsány v podkapitole Proporcionální regulace. Čas t = 0, kdy spustíme integrační člen regulátoru a tedy zahájíme integraci regulačních odchylek e(t), může být zvolen v zásadě jakkoliv, třeba na začátku vytápění nebo v okamžiku, kdy regulovaná teplota dosáhne spodní hranice pásma proporcionality. Z rovnice (3) plynou tři základní vlastnosti integračního členu:

1) V čase t = 0, kdy je integrační člen spuštěn a začíná ovlivňovat výkon kotle, vysílá integrační člen nulový signál, tedy příkaz netopit. Integrál ve (3) je totiž zpočátku, tj. pro t → 0, blízký nule. Naopak proporcionální člen vytápí podle okamžité regulační odchylky, viz vztah (1) nebo (1').

2) Dosáhne-li teplota požadované úrovně, je integrační člen nenulový a vytápí, zatímco proporcionální vysílá signál netopit, protože je regulační odchylka e <<= 0. Integrační člen jako jediný vytápí i při nulové nebo záporné regulační odchylce.

3) To, jestli ustaví integrační člen požadovanou teplotu rychle a bez překmitů závisí na správném odhadu pásma proporcionality a konstanty T_I. Není-li nastaveno extrémně úzké pásmo proporcionality kdy regulátor vlastně pracuje v režimu ON/OFF, ustaví ji v zásadě vždy. To proto, že kladné regulační odchylky (kdy skutečná teplota nedosahuje požadované) zvětšují výstupní signál integračního členu a záporné jej zmenšují. Proces tak nakonec dokonverguje k požadované teplotě, pří níž je nulová regulační odchylka a proporcionální člen netopí, zatímco integrační člen, který se nemění,vytápí právě tolik, kolik je třeba k udržení požadované teploty.

Naznačme, jak se k optimální hodnotě konstanty integračního členu dopracovat. V ustáleném stavu (t → ∞) při docílené požadované teplotě platí pro výstupní signál integračního členu, že vytápí právě tolik, jaká je tepelná ztráta vytápěného prostoru. Popisuje to rovnice:

V rovnicích (4) jsme symbolem I označili určitý integrál, dále P_K je maximální výkon otopné soustavy, Z = 1/Δθ je zisk proporcionálního členu regulátoru a zároveň převrácená hodnota šířky pásma proporcionality, HT je měrná tepelná ztráta vytápěného prostoru (domu), θ_P resp. θ_E je požadovaná, resp. venkovní teplota. Pro určitý integrál ze (4) pak platí:

Relace (5) říká, že hodnota I integrálu regulačních odchylek podle času a tedy i vlastní časový průběh regulační odchylky e(t) závisí na měrné tepelné ztrátě domu, na rozdílu požadované vnitřní a venkovní teploty a na výkonu otopné soustavy. A dále, že tento integrál lze ovlivňovat volbou vhodného pásma proporcionality Δθ proporcionálního členu a vhodné konstanty T_I integračního členu regulátoru.

U moderních PI regulátorů s funkcí autotuning regulátor sám dynamicky otestuje parametry vytápěného prostoru a otopné soustavy a na základě velikostí požadované a vnější teploty pak bez asistence uživatele určí konstanty proporcionálního a integračního členu a tyto v průběhu regulačního procesu upravuje. Náběh na požadovanou teplotu je pak co nejrychlejší a s minimálními překmity.

Derivační člen regulátoru

Třetí možnou složkou regulátoru je derivační člen, který na rozdíl od obou předchozích nemůže existovat samostatně. Tento člen reaguje na změnu regulační odchylky a velikost jeho výstupního signálu popisují rovnice

kde T_D je konstanta derivačního členu (v sekundách). Tento člen vytápí, jen když roste regulační odchylka e(t), tzn. když klesá teplota v regulovaném prostoru a derivace odchylky je kladná, e'(t) > 0. Jestliže naopak teplota roste a derivace je záporná, nevrací derivační člen žádný signál k akci. Derivační člen společně s proporcionálním a integračním tvoří PID regulátor, jehož odezva je popsána rovnicemi. Typickým příkladem aktivizace derivačního členu je situace, kdy prudce poklesne venkovní teplota a to se projeví poklesem vnitřní teploty pod úroveň požadované teploty.